Wianuszki 3D w sześcianie

U_6,5

Przypomnijmy, jak powstają wianuszki płaskie. Możesz o nich przeczytać w artykułach Wianuszki - rozgrzewka oraz Wianuszki. Zajrzyj tam koniecznie.
We wnętrzu n-kąta foremnego rosną na jego bokach m-kąty foremne. Rosną tak długo, aż 'chwycą się za ręce', tzn. rosną dopóki ich wnętrza nie mają punktów wspólnych. Ów finalny układ wielokątów nazywamy wianuszkiem. Zobacz przykłady na dynamicznym rysunku obok.

Nietrudno wyobrazić sobie, że we wnętrzu sześcianu, na jego ścianach stoją małe sześciany. Gdy powiększymy je tak, że będą się stykać, ale ich wnętrza nie będą miały mają punktów wspólnych, to taki układ nazwiemy 'wianuszkiem' sześcianów w sześcianie.

Wiadomo, że jest nieskończenie wiele wielokątów foremnych. Ale brył foremnych (platońskich) jest tylko 5. Jednak bogactwo trójwymiarowych wianuszków jest spore. Nie będziemy tu przedstawiać pełnej teorii wianuszków 3D. Ograniczymy się do kilku przykładów.

W poniższych zadaniach przedstawiono opisy pewnych wianuszków. Opisy te są, delikatnie mówiąc, karkołomne. Główna trudność zadań polega na deszyfrowaniu tych opisów i na wyobrażeniu sobie owych wianuszków. Do każdego zadania są dwie wskazówki. Pierwsza zawiera rysunek ułatwiający zrozumienie treści zadania, a druga prawie rozwiązuje zadanie, bo zawiera rysunek (dynamiczny) opisanego w zadaniu wianuszka. Zatem przed kliknięciem warto pomyśleć i spróbować zrobić własny obrazek.

Wszystko dzieje się w sześcianie o krawędziach długości a.

Zadanie 1. Wianuszek sześcianów w dużym sześcianie o krawędziach długości a leży tak, że podstawy małych sześcianów leżą centralnie na ścianach dużego sześcianu i mają boki równoległe do boków ścian dużego sześcianu, na których leżą.

    a) Jaka jest długość x krawędzi małych sześcianów?

    b) Jaka jest objętość najmniejszej bryły wypukłej zawierającej wszystkie punkty styku małych sześcianów?

Wskazówka 1.    
 
 
 
 
 
Rysunek obok jest tylko 'jednym kadrem z filmu' pokazującego, jak rosną sześciany na ścianach dużego sześcianu. W finalnym wianuszku małe sześciany stykają się.

Zadanie 2. Wianuszek sześcianów w dużym sześcianie o krawędziach długości a leży tak, że podstawy małych sześcianów leżą centralnie na ścianach dużego sześcianu i mają boki równoległe do przekątnych ścian dużego sześcianu, na których leżą.

    a) Jaka jest długość x krawędzi małych sześcianów?

    b) Jaka jest objętość najmniejszej bryły wypukłej zawierającej wszystkie punkty styku małych sześcianów?

Wskazówka 1.    
 
 
 
 
 
Rysunek obok jest tylko 'jednym kadrem z filmu' pokazującego, jak rosną sześciany na ścianach dużego sześcianu. W finalnym wianuszku małe sześciany stykają się.

Zadanie 3. Wianuszek ośmiościanów foremnych leży w sześcianie o krawędziach długości a tak, że każdy ośmiościan 'stoi prosto' na jednym wierzchołku 'wbitym' w środek ściany sześcianu, przy czym krawędzie ośmiościanu wychodzące z 'wbitego' wierzchołka leżą 'nad' przekątnymi tej ściany sześcianu. Jaka jest długość x krawędzi ośmiościanów?

Wskazówka 1.    
 
 
 
 
 
Rysunek obok jest tylko 'jednym kadrem z filmu' pokazującego jak rosną ośmiościany na ścianach sześcianu. W finalnym wianuszku ośmiościany stykają się.

Zadanie 4. Wianuszek ośmiościanów foremnych leży w sześcianie o krawędziach długości a tak, że każdy ośmiościan 'stoi prosto' na jednym wierzchołku 'wbitym' w środek ściany sześcianu, przy czym rzuty (prostopadłe) na tą ścianę krawędzi ośmiościanu wychodzących z 'wbitego' wierzchołka są równoległe do boków tej ściany sześcianu. Jaka jest długość x krawędzi ośmiościanów?

Wskazówka 1.    
 
 
 
 
 
Rysunek obok jest tylko 'jednym kadrem z filmu' pokazującego jak rosną ośmiościany na ścianach sześcianu. W finalnym wianuszku ośmiościany stykają się.

Nieco mniej regularności niż poprzednie ma poniższy wianuszek sześcianów w dużym sześcianie.

Zadanie 5. W sześcianie o krawędziach długości a wybrano po jednej przekątnej ścian tak, że łącznie tworzą one szkielet czworościanu foremnego. Centralnie na tych przekątnych leżą krawędzie małych sześcianów tworzących wianuszek w tym dużym sześcianie. W każdym małym sześcianie ściany przylegające do przekątnych ścian dużego sześcianu tworzą z tymi ścianami kąty o mierze 45^o.

    a) Jaka jest długość x krawędzi małych sześcianów?

    b) Jaka jest objętość najmniejszej bryły wypukłej zawierającej wszystkie punkty styku małych sześcianów?

Wskazówka 1.    
 
 
 
 
 
Rysunek obok jest tylko 'jednym kadrem z filmu' pokazującego jak rosną sześciany na ścianach dużego sześcianu. W finalnym wianuszku małe sześciany stykają się.