Zaad. 1. Państwo Kowalscy, podróżując samolotem linii Biełka, mieli razem 94 kg bagażu. Pan Kowalski zapłacił 15 zł za nadbagaż, a pani Kowalska - 20 zł. Gdyby pan Kowalski podróżował sam z bagażem obojga, to zapłaciłby za nadbagaż 135 zł. Ile kilogramów bagażu może bezpłatnie wziąć ze sobą pasażer na pokład samolotu linii Biełka?
Zad. 2. Okrąg został podzielony w stosunku 5:9:10. W punktach podziału poprowadzono styczne. Oblicz miary kątów trójkąta, którego wierzchołkami są punkty przecięcia tych stycznych.
Zad. 3. Wykaż, że liczba 13 + 23 + 33 + ··· + 20233 + 20243 jest podzielna przez 2025.
Zad. 1. Niech x oznacza liczbę bagażu jaką każdy pasażer może wziąć bezpłatnie do samolotu. Państwo Kowalscy zabrali do samolotu łącznie 94 kilogramy bagażu, w tym 94-2x za który zapłacili łącznie 35 złotych. Wynika stąd, że kilogram płatnego bagażu kosztuje 35:(94-2x). Analiza przebiega podobnie, gdyby do samolotu wsiadł sam pan Kowalski. Zapłaciłby wówczas za 94-2x kilogramów bagażu 135 zł, więc za 1 kg opłata wynosiłaby 135:(94-2x). Porównując opłaty otrzymujemy równanie 35:(94-2x)= 135:(94-2x), skąd otrzymujemy x=40 kg. Każdy pasażer może wziąć bezpłatnie ze sobą bagaż o wadze 40 kg.
Zad. 2. Niech K, M, N będą punktami podziału okręgu i jednocześnie punktami styczności odpowiednich stycznych z okręgiem. Niech ABC będą wierzchołkami otrzymanego trójkąta i niech O będzie środkiem okręgu. Proporcja podziału okręgu jest taka sama jak proporcja podziału miedzy katami środkowymi, czyli |∡KOL|:|∡LOM|:|∡MOK|=9:5:10. Stąd |∡KOL|=135o,|∡LOM|=75o, |∡MOK|=150o. W czworokącie KOLA mamy |∡OKA|=|∡OLA|=90o. Zatem |∡KAL|=360o-2.90o-|∡KOL|=180o-135o=45o. Podobnie obliczamy miary kątów |∡LBM|=105o i |∡MCK|=30o. Ostatecznie miary kątów trójkąta wynoszą 30o, 45o, 105o.
Zad. 3. Zauważmy, ze 13+23+⋯+n3=(1+2+⋯+n)2=(n(n+1):2)2. Zatem 13 + 23 + 33 +···+ 20233 + 20243= (2024.2025:2)2=1=(1012.2025)2. Liczba 1012.2025 jest podzielna przez 2025, zatem liczba (1012.2025)2 też jest podzielna przez 2025.
To zabawny samouczek, który zaczynając się niewinnie intrygującą historyjką, krok po kroku, poczynając od najłatwiejszych łamigłówek, prowadzi nas w szpony, nie bójmy się użyć tego słowa, uzależnienia.
