Zad. 1. Pewna liczba dwucyfrowa ma trzy dzielniki jednocyfrowe i trzy dwucyfrowe. Suma wszystkich dzielników jednocyfrowych jest równa 8. Ile jest równa suma wszystkich dzielników dwucyfrowych tej liczby?
Zad. 2. Rozwiąż równanie (xz·yx·zy) : (xy·yz·zx) = 0,96, gdzie x, y, z są trzema kolejnymi liczbami naturalnymi oraz 0 < x < y < z.
Zad. 3. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym F1 wszystkie ściany boczne i podstawa mają takie samo pole. Płaszczyzną równoległą do podstawy odcięto mniejszy ostrosłup F2 tak, że pozostała część dużego ostrosłupa ma 5 ścian o jednakowym polu. Oblicz stosunek objętości F1 do F2.
W kwietniu punkty zdobyli:
- 3 – Emilia Cichowska II LO Lubin, Artur Bumażnik ZSE Jelenia Góra, Karolina Szymandera I LO Inowrocław, Julia Śnieżek I LO Nysa, Michał Węgrzyn ALO PWr Wrocław, Miłosz Zakrzewski LO Tuchola;
- 2 – Aleksander Kiszkowiak I TE Warszawa, Tomasz Wroński LO Aslan Głogów.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Jednym z dzielników jednocyfrowych jest 1. Suma dwóch pozostałych jest rów 8–1=7. Należy rozważyć rozkłady: 7=3+4 i 7=2+5. Gdyby szukanymi liczbami były 3 i 4, to również dzielnikiem byłaby liczba 2, a wtedy byłyby cztery dzielniki jednocyfrowe. Pozostaje więc para 2 i 5. Znajdźmy liczby dwucyfrowe, których jedynymi dzielnikami jednocyfrowymi są liczby 1, 2, i 5. Takich liczb należy szukać wśród dwucyfrowych wielokrotności liczby 2.5=10. Liczbami spełniającymi warunki zadania mogą być 10 i 50, ale jedynym dzielnikiem dwucyfrowym liczby 10 jest 10, więc ta liczba odpada. Liczba 50 ma trzy dzielniki dwucyfrowe: 10, 25 i 50. Ich suma wynosi 10+25+50=85.
Zad. 2. Przekształcając podane równanie, otrzymujemy xz–y.yx–z.zy–x = 0,96. Ponieważ x, y i z są trzema kolejnymi liczbami naturalnymi i 0<x<y<z, więc z–y=1, x–z=-2, y–x=1. Równanie przyjmuje postać xz:y2 = 0,96. Ponieważ x = y–1, z = y+1, więc (y–1)(y+1):y2 = 0,96, czyli y2–1 = 0,96y2, a stąd 0,04y2 = 1, zatem y2=25. Jedyną liczbą naturalną spełniającą to równanie jest 5. Szukane liczby to 4, 5 i 6.
Zad. 3. Niech h1 to wysokość ściany bocznej ostrosłupa F1, h2 - wysokość ściany bocznej ostrosłupa F2, a - długość krawędzi podstawy F1, x – długość krawędzi podstawy F2. Z równości pól ścian ostrosłupa F1 wynika, że a2 = 0,5ah, czyli h=2a. Ściany boczne ostrosłupów F1 i F2 są trójkątami podobnymi (dlaczego?), zatem x:h2 = a:h1, czyli x:h2 = a:2a, więc h2=2x. Pięć ścian o jednakowym polu bryły, która powstała po odcięciu F2, to cztery ściany boczne będace trapezami i mniejsza podstawa ostrosłupa ściętego. Otrzymujemy zależność: x2 = 0,5(a+x)·(h1–h2) = 0,5(a+x)·(2a–2x) = (a+x)(a–x) = a2–x2, a stąd [tex] x= \frac{a\sqrt{2}}{2} [/tex]. Stosunek objętości F1 do F2 jest zatem równy: [tex] \frac{\frac{1}{3} a^2h_1}{\frac{1}{3} x^2h_2}=\frac{a^2 \cdot2a}{\frac{a^2}{2} \cdot2 \cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{2}[/tex].
