Zad. 1. Funkcja f przyporządkowuje liczbie m liczbę k pierwiastków równania x|x|+(m–1)x+1/4 = 0. Naszkicuj wykres tej funkcji.
Zad. 2. Prosta równoległa do podstawy AB trójkąta ABC dzieli pole tego trójkąta na połowy. W jakim stosunku ta prosta dzieli boki AC i BC?
Zad. 3. Po owalnym torze biega biegacz, który okrąża bieżnię w ciągu a sekund. W tym samym kierunku jedzie rowerzysta, który okrąża bieżnię w ciągu b sekund (b<a). Co ile sekund rowerzysta będzie wyprzedzał biegacza?
W listopadzie punkty zdobyli:
- 3 – Zuzanna Borucka II LO Poznań, Radosław Górzyński I LO Lubin, Joanna Nowakowska LO Aslan Głogów, Julia Śnieżek I LO Nysa, Michał Węgrzyn ALO PWr Wrocław;
- 2 – Emilia Cichowska II LO Lubin, Zuzanna Czapiewska ZSB Słupsk, Aleksander Kiszkowiak I Technikum Elektroniczne Warszawa, Amelia Pieczara LO Dobrzeń Wielki, Cezary Rębiś ZS Elektronicznych Radom, Anastasia Yakovleva ZSP Mogilno, Miłosz Zakrzewski LO Tuchola, Sofiya Zeliankova II LO Poznań;
- 1 – Artur Bumażnik ZS Elektronicznych Jelenia Góra, Agata Chudała LO Dobrzeń Wielki, Oliwier Gajda LO Dobrzeń Wielki, Julia Stiller LO Dobrzeń Wielki, Paulina Wójcik LO Dobrzeń Wielki.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Jeżeli x<0, to otrzymujemy równanie -x2+(m–1)x+1/4 = 0. Ponieważ ∆ = (m–1)2+1 > 0 oraz x1x2 = -1/4 < 0, równanie to ma zawsze jeden pierwiastek ujemny, który spełnia warunki zadania. Jeżeli x>0, to otrzymujemy równanie x2+(m–1)x+1/4 = 0. Ponieważ ∆ = (m–1)2–1 oraz x1x2 = 1/4, a x1+x2 = 1–m, jeżeli równanie to posiada pierwiastki, to są one jednakowych znaków i wtedy jeżeli ∆>0 i 1–m>0, to równanie ma dwa pierwiastki, a jeżeli ∆=0 i 1–m>0, to równanie ma jeden pierwiastek. Mamy, więc[tex] \left\{\begin{array}{rcl}1, m>0&\\2, m=0&\\3, m<0&\\\end{array}\right. [/tex]
Zad. 2. Wiadomo, że PCMN = 1/2PABC. Niech M i N to punkty przecięcia prostęj z bokami odpowiednio CA i CB. Z podobieństwa trójkątów mamy |CM|:|CA| = |CN|:|CB|. Ponieważ (|CM|:|CA|)2 = PCMN : PABC = 1/2 (dlaczego?), mamy |CM|:|CA|= 1:√2, więc [tex] \frac{|CM|}{|CA|}=\frac{1}{\sqrt2} [/tex]. Stąd [tex] CM=\frac{\sqrt{2}}{2}|CA| [/tex]. Ponieważ [tex] |MA|=|CA|-|MC|=|CA|-\frac{\sqrt{2}}{2}|CA|=\frac{2-\sqrt{2}}{2}|CA| [/tex], mamy [tex] \frac{|CM|}{|MA|}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=1:(\sqrt{2}-1) [/tex].
Zad. 3. Niech s oznacza długość toru, vb - prędkość biegacza, vr – prędkość rowerzysty. Z warunków zadania mamy s = avb = bvr. Jeżeli rowerzysta będzie wyprzedzał biegacza co t sekund, to [tex]t=\frac{s}{v_r-v_b}=\frac{ab}{a-b}[/tex].
