Zad. 1. Jeżeli cyfrę dziesiątek pewnej liczby dwucyfrowej zwiększymy o 4, a jej cyfrę jedności zmniejszymy o 2, to otrzymamy liczbę mniejszą od 86. Jeżeli zaś cyfrę dziesiątek wyjściowej liczby zmniejszymy o 2, a cyfrę jedności powiększymy o 1, to otrzymamy liczbę większą od 27. Ile wynosi wyjściowa liczba?
Zad. 2. W sali wykładowej Muzeum Nauki i Techniki wszystkie miejsca były zajęte. W każdym rzędzie foteli siedziała dokładnie jedna dziewczynka, a resztę miejsc zajmowali chłopcy. Rzędów było tyle, ile było foteli w jednym rzędzie. Wiadomo, że na sali siedziało więcej niż 80 osób, ale mniej niż 90. Ilu chłopców i ile dziewcząt było na wykładzie?
Zad. 3. Jacek i Wacek wyruszyli jednocześnie z tego samego miejsca i w tym samym kierunku. Jacek przez 2,25 godziny szedł z prędkością 6 km/h, a następnie zatrzymał się na 25 minut i wracał z prędkością 5,5 km/h. Wacek szedł stale z prędkością 4,5 km/h. Wyznacz czas i miejsce spotkania chłopców.
W październiku punkty zdobyli:
- 3 – Zuzanna Borucka II LO Poznań, Artur Bumażnik ZS Elektronicznych Jelenia Góra, Agata Chudała LO Dobrzeń Wielki, Emilia Cichowska II LO Lubin, Zuzanna Czapiewska ZS Budowlanych Słupsk, Oliwier Gajda LO Dobrzeń Wielki, Radosław Górzyński I LO Lubin, Marcelina Jank II LO Poznań, Aleksander Kiszkowiak I Technikum Elektroniczne Warszawa, Filip Kleczewski I LO Głubczyce, Mateusz Kubis LO Dobrzeń Wielki, Tomasz Latosiewicz I LO Kłodzko, Piotr Łukawski LO Żary, Joanna Nowakowska LO Aslan Głogów, Miłosz Olszewski I LO Głubczyce, Amelia Pieczara LO Dobrzeń Wielki, Cezary Rębiś ZS Elektronicznych Radom, Julia Stiller LO Dobrzeń Wielki, Julia Śnieżek I LO Nysa, Michał Węgrzyn ALO PWr Wrocław, Paulina Wójcik LO Dobrzeń Wielki, Anastasia Yakovleva ZS Mogilno, Sofiya Zeliankova II LO Poznań, Zuzanna Galarowicz LO Nowy Targ, Miłosz Zakrzewski LO Tuchola;
- 2 – Aleksandra Bieszcz LO Dobrzeń Wielki, Emilia Łytka LO Dobrzeń Wielki.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Niech x oznacza cyfrę dziesiątek, a y cyfrę jedności liczby dwucyfrowej. Liczbę tę możemy zapisać w postaci 10x+y. Z treści zadania otrzymujemy układ nierówności 10(x+4)+y–2 < 86 oraz 10(x–2)+y+1 > 27. Po przekształceniu nierówności otrzymujemy 10x+y < 48 oraz 10x+y > 46. Jedyną liczbą dwucyfrową spełniającą ten układ nierówności jest 47.
Zad. 2. Oznaczmy, przez x liczbę chłopców siedzących w jednym rzędzie. W każdym rzędzie siedzi też jedna dziewczynka, zatem w jednym rzędzie siedzi x+1 osób, a liczba rzędów też wynosi x+1. Wszystkich osób na sali jest zatem (x+1)2. Z treści zadania wynika, że 80 < (x+1)2 < 90. Szukamy więc kwadratu liczby naturalnej większego niż 80, a mniejszego niż 90. Jedynym takim kwadratem jest 81, zatem (x+1)2 = 81, czyli x+1 = 9. Na wykładzie było 9 dziewcząt i 72 chłopców.
Zad. 3. Rozpatrzmy najpierw, jaką drogę przeszli chłopcy, gdy poruszali się w tym samym kierunku. Jacek przebył 2,25·6 = 13,5 km natomiast Wacek szedł o 25 minut dłużej, czyli szedł przez 22/3 h, przebywając 22/3·4,5 = 12 km. Zatem w tamtej chwili odległość między nimi wynosiła 1,5 km. Od tego momentu poruszali się w przeciwnych kierunkach. Niech x to droga, jaką przebył Wacek do momentu spotkania. Wówczas 1,5–x to droga, jaką przebył do chwili spotkania Jacek. Drogi te pokonują w tym samym czasie, więc otrzymujemy równanie x:4,5 = (1,5–x):5,5, skąd x = 0,675 km. Do spotkania doszło zatem w odległości 12,675 km od miejsca, z którego wyruszyli, a czas jaki upłynął do spotkania wyniósł 22/3 + 0,675:4,5 = 2 godziny 49 minut.
