Zad. 1. W klasie liczącej 35 uczniów 20 uczy się języka angielskiego, 17 - niemieckiego i 13 - francuskiego. Ilu uczniów uczy się niemieckiego i francuskiego, jeżeli żaden uczeń nie uczy się wszystkich trzech języków jednocześnie, a 10 uczniów nie uczy się żadnego z tych języków, gdyż uczą się włoskiego i hiszpańskiego?
Zad. 2. Rowerzysta pokonał trasę między Nowym Lipnem a Starym Lipnem z prędkością 15 km/h, a drogę powrotną, jadąc tą samą trasą, z prędkością 10 km/h. Jaka była średnia prędkość rowerzysty na całej trasie?
Zad. 3. Wyznacz wszystkie liczby całkowite k, dla których liczba [tex]\frac{k^2+50}{k+5}[/tex] jest liczbą całkowitą.
W styczniu punkty zdobyli:
- 3 – Artur Bumażnik ZS Elektronicznych Jelenia Góra, Agata Chudała LO Dobrzeń Wielki, Emilia Cichowska II LO Lubin, Zuzanna Czapiewska ZSB Słupsk, Radosław Górzyński I LO Lubin, Joanna Nowakowska LO Aslan Głogów, Cezary Rębiś ZS Elektronicznych Radom, Julia Śnieżek I LO Nysa Michał Węgrzyn ALO PWr Wrocław, Anastasia Yakovleva ZS Mogilno, Miłosz Zakrzewski LO Tuchola;
- 2 – Aleksander Kiszkowiak I Technikum Elektroniczne Warszawa, Amelia Pieczara LO Dobrzeń Wielki, Paulina Wójcik LO Dobrzeń Wielki;
- 1 – Mateusz Kubis LO Dobrzeń Wielki.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Niech A, B, C będą zbiorami uczniów uczących się odpowiednio języka angielskiego, niemieckiego i francuskiego. Oznaczmy przez N(A), N(B) i N(C) liczebności zbiorów A, B i C. Mamy N(A)=20, N(B)=17, N(C)=13 i N(A∩B∩C)=0. 10 osób nie uczy się tych języków, więc N(A∪B∪C)=35–10=25. Korzystając z zasady włączeń i wyłączeń mamy N(A∪B∪C) = N(A)+N(B)+N(C)+N(A∩B∩C)–[N(A∩B)+N(A∩C)+N(B∩C)]. Otrzymujemy N(A∩B)+N(A∩C)+N(B∩C) = (20+17+13+0)–25 = 25. Ponieważ A∩B∩C = ∅, zbiory A∩B, A∩C, B∩C są rozłączne i w sumie dają zbiór A∪B∪C. Każdy uczeń, który uczy się co najmniej jednego z wymienionych języków, uczy się dokładnie dwóch. Mamy więc N(A∩B) = 25–N(C) = 25–13 = 12, N(A∩C) = 25–N(B) = 25–17=8, N(B∩C) = 25–N(A) = 25–20 = 5. Pięciu uczniów uczy się jednocześnie języka niemieckiego i francuskiego.
Zad. 2. Niech s1, v1, t1 i s2, v2, t2 oznaczają odpowiednio drogę, prędkość i czas jazdy w jedną i drugą stronę. Droga, jaką rowerzysta pokonał w jedną i drugą stronę, jest taka sama, czyli s1= s2= s. Prędkość średnią obliczamy ze wzoru vśr = ∆S/∆t = 2s/(t1+t2). Czasy jazdy w jedną i drugą stronę wynoszą odpowiednio t1= s/v1 i t2 = s/v2. Podstawiając t1 i t2 do wzoru na prędkość średnią, otrzymujemy [tex] v_{śr}=\frac{2s}{t_1+t_2}=\frac{2s}{\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}}=\frac{2}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}}=\frac{2}{\frac{1}{15}+\frac{1}{10}}=12 [/tex]. Prędkość średnia rowerzysty na całej trasie jest średnią harmoniczną prędkości na obu odcinkach i wynosi 12 km/h.
Zad. 3. Zauważmy, że [tex] \frac{k^2+50}{k+5}=\frac{k^2-25+75}{k+5}=k-5+\frac{75}{k+5} [/tex]. Liczba [tex] \frac{k^2+50}{k+5} [/tex] będzie całkowita, gdy k+5 będzie dzielnikiem 75, czyli k+5 ∈ {-75,-25, -15, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 15, 25, 75}, skąd k ∈ {-80, -30, -20, -10, -8, -6, -4, -2, 0, 10, 20, 70}.
