Zad. 1. Ile jest liczb całkowitych n, dla których n3 + 6n2 + 9n jest kwadratem liczby całkowitej?
Zad. 2. Dwa zewnętrznie styczne okręgi o równych promieniach długości 2 są styczne do prostej k. Trzeci okrąg jest styczny do prostej k i zewnętrznie styczny do dwóch poprzednich okręgów. Ile wynosi promień trzeciego okręgu?
Zad. 3. Okrągły stół o średnicy 2 m został przykryty cienkim kwadratowym obrusem o długości boku 2,5 m. Środek blatu stołu pokrywa się ze środkiem obrusa. Ile wynosi różnica pomiędzy odległościami od podłogi najwyżej i najniżej położonego punktu na brzegu obrusa.
W lutym punkty zdobyli:
- 3 – Artur Bumażnik ZS Elektronicznych Jelenia Góra, Emilia Cichowska II LO Lubin, Aleksander Kiszkowiak I Technikum Elektroniczne Warszawa, Radosław Górzyński I LO Lubin, Joanna Nowakowska LO Aslan Głogów, Cezary Rębiś ZS Elektronicznych Radom, Julia Śnieżek I LO Nysa, Michał Węgrzyn ALO PWr Wrocław, Miłosz Zakrzewski LO Tuchola;
- 2 – Zuzanna Czapiewska ZSB Słupsk, Mateusz Kubis LO Dobrzeń Wielki, Amelia Pieczara LO Dobrzeń Wielki;
- 1 – Agata Chudała LO Dobrzeń Wielki, Anastasia Yakovleva ZS Mogilno.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Ponieważ n3+6n2+9n = n(n2+6n+9) = n(n+3)2, więc dana liczba będzie kwadratem liczby całkowitej tylko wtedy, gdy n będzie kwadratem liczby całkowitej. Niech n=k2, gdzie k jest liczbą całkowitą. Wtedy n3+6n2+9n = n(n+3)2 = k2(k2+3)2 = (k(k2+3))2. Istnieje więc nieskończenie liczb całkowitych n, dla których dana liczba jest kwadratem liczby całkowitej.
Zad. 2. Oznaczmy przez A środek jednego z okręgów o promieniu 2, przez B – punkt styczności tych okręgów, a przez C – środek mniejszego okręgu. Ponadto promień mniejszego okręgu niech ma długość r. Zauważmy, że trójkąt ABC jest prostokątny. Na podstawie twierdzenia Pitagorasa dostajemy
(r+2)2 = 22+(2-r)2, skąd r = 0,5.
Zad. 3. Rozpatrzmy kwadrat ABCD o boku długości 2,5 oraz koło o środku S i średnicy 2. Załóżmy, że punkt S jest wspólnym środkiem koła (stołu) i kwadratu (obrusa). Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku, gdzie punkt G jest środkiem boku CD. Poszukiwana różnica odległości jest równa [tex] EC-FG=\frac{1}{2}(AC-2SE)-\frac{1}{2}(BC-2SF)=\frac{1}{2}(AC-BC-2SE+2SF)=\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}(\frac{5}{2}\sqrt{2}-\frac{5}{2})=\frac{1}{4}(5\sqrt{2}-5) [/tex].
