Zad. 1. Wyznacz funkcję f określoną dla x≠0, spełniającą warunek f(x) + 2f(1/x) = x.
Zad. 2. Wyznacz liczbę równań postaci x2–px–q = 0 (gdzie p i q – liczby naturalne), których obydwa pierwiastki są mniejsze od 5.
Zad. 3. Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego, którego wszystkie krawędzie mają długość 12 cm.
W marcu punkty zdobyli:
- 3 – Cezary Rębiś ZS Elektronicznych Radom, Michał Węgrzyn ALO PWr Wrocław, Miłosz Zakrzewski LO Tuchola;
- 2 – Emilia Cichowska II LO Lubin, Zuzanna Czapiewska ZSB Słupsk, Radosław Górzyński I LO Lubin, Aleksander Kiszkowiak I Technikum Elektroniczne Warszawa, Julia ŚnieżekI LO Nysa;
- 1 – Artur Bumażnik ZS Elektronicznych Jelenia Góra, Joanna Nowakowska LO Aslan Głogów.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Jeżeli dla x≠0 funkcja f istnieje i spełnia warunek [tex] f(x)+2f(\frac{1}{x})=x [/tex], to spełnia również równość [tex] f(\frac{1}{x})+2f(x)=\frac{1}{x} [/tex], skąd [tex] f(\frac{1}{x})=\frac{1}{x}-2f(x) [/tex]. Podstawiając to do równości pierwszej, otrzymujemy zależność [tex] f(x)+2[\frac{1}{x}-2f(x)]=x [/tex], z której wyznaczamy [tex]f(x)=\frac{2-x^2}{3x} [/tex].
Zad. 2. Istnieje 46 takich równań. Wystarczy, aby spełniona była nierówność 52–5p–q>0 (dlaczego?).
- Jeżeli p=1, to q<20 – istnieje 19 równań
- Jeżeli p=2, to q<15 – istnieje 14 równań
- Jeżeli p=3, to q<10 – istnieje 9 równań
- Jeżeli p=4, to q<5 – istnieją 4 równania.
Zad. 3. Ostrosłup taki nie istnieje. Zauważmy, że wysokość ostrosłupa wraz z dowolnym wierzchołkiem podstawy musiałaby wyznaczać trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna miałaby taką samą długość, jak jedna z przyprostokątnych.
Uwaga do zadania 2.
Nie zgadzam się z rozwiązaniem zadania 2. Jeżeli ten konkurs dotyczy szkół średnich, to na tym etapie edukacyjnym przyjęto, że 0 jest liczbą naturalną. A jeśli tak, to istnieją 74 równania, które spełniają warunki zadania.
Zad 2
Rozwiązanie podane przez autora jest błędne. Należy rozpatrzyć przypadki dla delty większej lub równej zero oraz przyjąć, że oba pierwiastki równania są mniejsze od 5 (nie ma warunku na to, że pierwiastki muszą być różne). Wg mojej oceny jest 75 rozwiązań.
Zadanie drugie
Autor rozwiazania podaje błedną liczbę rozwiązań. Poniżej krytyki. Nie uwzględnia w odpowiedziach do zadania np. p=1 i q=0, czyli rozwiązania to x=0 i x=1. Brak słów.
Czy zero jest naturalne?
Może czas skończy z mitem, że matematycy nie mogą ustalić, czy zero jest naturalne, czy nie. Nie ma na ten temat ŻADNEJ wiążącej umowy (a na pewno nie zależy to od poziomu nauczania). Zależy to wyłącznie od działu matematyki i od tego, jaką definicją liczb naturalnych wygodniej jest w tym dziale operować. Zero jest przyjmowane powszechnie za liczbę naturalną w teorii mnogości, bo jest to potrzebne (np. do definiowania zbiorów skończonych). W arytmetyce zero nie jest uznawane za naturalne, bo to z kolei znacząco upraszcza definiowanie wielu pojęć (np. wymierności).
zadanie drugie
Autor zadania powinien jasno określić , w przypadku takich kontrowersji, czy uznaje zero za liczbę naturalną, czy tez nie przed rozwiązaniem zadania.Jeżeli tego nie robi nie powinien negowań rozwiązań , które w tym przypadku zero zawierają.Tym bardziej, jak zreszta widac na powyższych przykladach , jeśli N={0,1,2,3...} warunki zadania zostały spełnione, więc dlaczego mamy ich nie uwzględniać? Podobnie należałoby użyć słów dwa rózne pierwiaski równania , a nie oba pierwiastki równania, co stwarza równiez pole do swobodnej interpretacji zadania zależnej od autora.Nie należy negowac rozwiazań które spełniaja warunki zadania, a do błędu warto sie czasami przyznać , bo to nie jest ujma na honorze tylko dobrze swiadczy o człowieku.Pozdrawiam